ZYX HOME

Markowitz均值-方差模型

5 min read

Markowitz均值-方差模型

Markowitz均值-方差模型是现代投资组合理论的基础，由Harry Markowitz于1952年提出，他因此获得了1990年诺贝尔经济学奖。这一模型也被称为现代投资组合理论(MPT)。

核心思想

Markowitz模型的核心思想是通过构建不同权重的资产组合，在一定风险水平下寻求最大收益，或在一定收益目标下寻求最小风险。

关键概念：

  • 风险分散化 - 资产间相关性不完全正相关时可降低组合风险
  • 有效前沿 - 所有风险收益最优组合的集合
  • 效用最大化 - 投资者根据风险偏好在有效前沿上选择最优点

数学表达

组合预期收益率

组合方差（风险）

其中：

  • - 组合预期收益率
  • - 资产i的权重
  • - 资产i的预期收益率
  • - 组合方差
  • - 资产i的标准差
  • - 资产i和j的相关系数

优化问题

Markowitz模型可以表述为以下优化问题：

  1. 最小化风险： 在给定预期收益率的条件下最小化投资组合方差

  2. 最大化收益： 在给定风险水平下最大化投资组合预期收益率

  3. 最大化夏普比率： 最大化单位风险下的超额收益（通常用于无约束优化）

与其他模型的关系

实践方法

Markowitz模型的实际应用步骤：

  1. 选取资产：选择多只具有一定相关关系的资产
  2. 计算统计量：估计各资产的预期收益率、标准差和相关系数
  3. 构建协方差矩阵：基于历史数据或其他方法
  4. 设定约束条件：如权重约束、行业约束等
  5. 求解优化问题：使用二次规划等数值方法
  6. 分析敏感性：测试模型对输入参数变化的敏感程度

Python实现

使用Python实现Markowitz模型的示例代码：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize
 
# 假设已有资产收益率数据
returns = pd.DataFrame([...])  # 各资产历史收益率
 
# 计算预期收益和协方差
mean_returns = returns.mean()
cov_matrix = returns.cov()
 
# 定义优化函数
def portfolio_volatility(weights, mean_returns, cov_matrix):
    return np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights)))
 
def portfolio_return(weights, mean_returns):
    return np.sum(mean_returns * weights)
 
# 设置约束条件
constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})  # 权重和为1
bounds = tuple((0, 1) for asset in range(len(mean_returns)))    # 权重在0到1之间
 
# 最小化风险的优化问题
def min_volatility(mean_returns, cov_matrix, constraints, bounds):
    n_assets = len(mean_returns)
    args = (mean_returns, cov_matrix)
    initial_guess = np.array([1/n_assets] * n_assets)
    
    result = minimize(portfolio_volatility, 
                     initial_guess, 
                     args=args,
                     method='SLSQP', 
                     bounds=bounds,
                     constraints=constraints)
    
    return result['x']
 
# 获取最小风险组合的权重
min_vol_weights = min_volatility(mean_returns, cov_matrix, constraints, bounds)

局限性与挑战

Markowitz模型存在几个主要局限：

  1. 输入敏感性：对预期收益和协方差估计极为敏感
  2. 极端权重：常导致集中投资于少数资产
  3. 静态模型：不考虑市场条件变化
  4. 假设偏离：假设收益率服从正态分布，忽略尾部风险

改进方向

为解决上述问题，实务中常采用以下改进：

  1. 正则化方法：如收缩估计、Ridge回归等
  2. 稳健优化：考虑参数估计的不确定性
  3. 约束添加：添加更多实际约束如换手率限制
  4. Black-Litterman模型：结合市场均衡和主观观点

Graph View

Backlinks