Black-Litterman模型
Black-Litterman模型是由Fischer Black和Robert Litterman在1990年代初期为高盛开发的投资组合理论模型，被视为Markowitz均值-方差模型的贝叶斯扩展版本。
核心思想
Black-Litterman模型试图解决Markowitz模型在实际应用中面临的两个主要问题：
- 对预期收益率估计的高度敏感性
- 优化结果常导致极端权重配置
它通过结合市场均衡隐含的收益率与投资者自身的主观观点，形成更为合理、稳定的预期收益率估计。
模型框架
Black-Litterman模型包含两个关键要素：
- 均衡隐含收益：从当前市场权重推导的隐含预期收益率（先验分布）
- 投资者观点：投资者对未来收益的主观判断（条件分布）
通过贝叶斯方法将两者结合，生成调整后的预期收益率（后验分布）。
数学表达
基本公式
E[R] = [(τΣ)^(-1) + P'Ω^(-1)P]^(-1)[(τΣ)^(-1)Π + P'Ω^(-1)Q]
其中：
- E[R] - 调整后的预期收益率
- τ - 不确定性缩放因子（通常为小数值）
- Σ - 协方差矩阵
- Π - 均衡隐含收益率
- P - 观点矩阵（表示哪些资产受到观点影响）
- Ω - 观点不确定性矩阵
- Q - 观点预期收益率
均衡隐含收益率计算
基于CAPM模型的逆优化过程：
Π = λΣw_{mkt}
其中：
- λ - 风险厌恶系数
- w_{mkt} - 市场资产权重
观点表达方式
Black-Litterman模型支持两种类型的观点表达：
-
绝对观点：对单一资产预期收益的直接估计 例如：“资产A预期收益率为8%”
-
相对观点：对资产间预期收益差异的估计 例如：“资产A将比资产B表现好2%“
实施步骤
- 获取市场数据：收集市场权重和资产协方差矩阵
- 计算隐含收益：基于当前市场权重和协方差反推隐含收益率
- 形成主观观点：确定投资者对特定资产或资产组合的观点
- 确定不确定性：设置观点的置信度和总体模型不确定性
- 计算后验收益：合并隐含收益和主观观点
- 优化组合：基于调整后的预期收益率优化投资组合权重
Python实现示例
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import minimize
# 假设已有市场权重和协方差矩阵
market_weights = np.array([0.3, 0.4, 0.3]) # 市场权重
cov_matrix = np.array([
[0.10, 0.03, 0.02],
[0.03, 0.08, 0.01],
[0.02, 0.01, 0.06]
]) # 协方差矩阵
# 1. 计算隐含均衡收益率
risk_aversion = 2.5 # 风险厌恶系数
implied_returns = risk_aversion * np.dot(cov_matrix, market_weights)
# 2. 定义投资者观点
# 观点1：资产1的绝对收益为5%
# 观点2：资产2的收益将比资产3高2%
P = np.array([
[1, 0, 0], # 观点1影响矩阵
[0, 1, -1] # 观点2影响矩阵
])
Q = np.array([0.05, 0.02]) # 观点预期收益
# 3. 设置观点不确定性
omega = np.diag([0.01, 0.005]) # 观点的不确定性
# 4. 设置模型不确定性缩放因子
tau = 0.025
# 5. 计算调整后的预期收益率
temp1 = np.linalg.inv(tau * cov_matrix)
temp2 = np.dot(np.dot(P, np.linalg.inv(omega)), P.T)
temp3 = np.dot(temp1, implied_returns)
temp4 = np.dot(np.dot(P.T, np.linalg.inv(omega)), Q)
combined_return = np.dot(np.linalg.inv(temp1 + temp2), (temp3 + temp4))
# 6. 使用调整后收益率进行组合优化
# ...类似于Markowitz模型的优化步骤优势与局限
优势
- 减少对输入参数的敏感性
- 允许将主观判断以结构化方式纳入模型
- 解决Markowitz模型中的极端权重问题
- 更直观的参数调整方式
局限
- 参数设置（特别是τ和Ω）仍有主观性
- 需要准确的市场均衡权重
- 观点表达方式可能受限
- 对市场有效的假设仍然存在
与其他模型的关系
- 当不添加任何观点时，Black-Litterman模型默认为市场组合
- 可以视为Markowitz均值-方差模型和CAPM模型的贝叶斯扩展
- 是风险管理和主动投资决策的桥梁