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CAPM模型

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CAPM模型

CAPM（Capital Asset Pricing Model，资本资产定价模型）是投资组合理论中最基础的资产定价模型，由William Sharpe、John Lintner和Jan Mossin于20世纪60年代独立发展。

核心公式

CAPM的基本公式：

E(Ri) = Rf + βi × [E(Rm) - Rf]

其中：

  • E(Ri)：资产i的预期收益率
  • Rf：无风险利率
  • βi：资产i相对于市场的Beta系数
  • E(Rm)：市场预期收益率
  • [E(Rm) - Rf]：市场风险溢价

Beta系数

Beta是衡量资产对市场风险敏感性的指标，通过回归分析计算：

βi = Cov(Ri, Rm) / Var(Rm)

Beta解读：

  • β > 1：波动性大于市场
  • β = 1：与市场同步波动
  • β < 1：波动性小于市场
  • β = 0：与市场无关（如无风险资产）
  • β < 0：与市场反向波动（如某些对冲策略）

CAPM的假设

  1. 投资者是风险厌恶的，追求效用最大化
  2. 市场是有效的，信息完全透明
  3. 所有投资者具有相同的投资期限和预期
  4. 无交易成本和税收
  5. 所有投资者可以无限制地以无风险利率借贷

与Markowitz模型的关系

CAPM可视为Markowitz均值-方差模型的简化版本：

  • Markowitz模型需要计算所有资产对的协方差
  • CAPM仅需计算每个资产与市场的关系

实际应用

CAPM在量化投资中的应用：

  1. 资产定价：估算资产的合理预期收益率
  2. 投资组合构建：作为资产选择的参考标准
  3. 绩效评估：通过Jensen’s Alpha衡量超额收益 
    Alpha = R - [Rf + β(Rm - Rf)]
  4. 风险管理：分解为系统性风险和非系统性风险

局限性

CAPM的主要局限：

  1. 单一因子模型，解释力有限
  2. 实证研究发现市场风险溢价与实际收益的相关性不稳定
  3. 忽略了其他风险因素（如规模、价值等）
  4. 假设条件在现实市场中难以满足

扩展与发展

为克服CAPM的局限性，后续发展出多种扩展模型：

  • APT（套利定价理论）：多因子框架
  • Fama-French多因子模型：引入规模、价值等因子
  • 条件CAPM：允许beta随时间变化

在量化交易中的实现

在Python中实现CAPM的基本步骤：

# 计算股票的Beta
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
 
# 假设已有股票和市场指数的收益率数据
stock_returns = pd.Series([...])
market_returns = pd.Series([...])
 
# 计算Beta
X = market_returns.values.reshape(-1, 1)
y = stock_returns.values
model = LinearRegression().fit(X, y)
beta = model.coef_[0]
 
# 计算预期收益率
risk_free_rate = 0.03  # 假设无风险利率为3%
market_risk_premium = 0.05  # 假设市场风险溢价为5%
expected_return = risk_free_rate + beta * market_risk_premium

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